15. Может ли метод быть приватный?

Конечно.
Представим функцию:
void A::save(){
  if(check()){
    commit();
  }
}

Перед принятием изменений происодит проверка, все хорошо и логично. Если бы нельзя было сделать commit() приватной, то пользователь данного класса мог бы напрямую вызвать commit() без проверки, что может быть опасно.

13. Обязательно ли делать поля класса приватными?

Конечно нет (Обычно, если все поля класса открытые, класс объявляют с помощью struct, но это только по желанию)