55. Как объявить в классе и проинициализировать статический константный массив?

Как и другие статические константы

class A{
public:
  static const int arr[];
};

const int A::arr[] = {0,1,2,3,4};

54. Для чего нужны статические поля в классе? Как они определяются?

Обычно, каждому объекту соответствуют собственные значения всех его полей. Также к полям класса относят статические поля (static data members, static class fields, class variables) — поля, общие для всех объектов класса.

Статические поля семантически не отличаются от обычных глобальных переменных, но они доступны только по квалифицированному имени (то есть с указанием имени класса), и поэтому, в отличие от глобальных переменных, не загромождают пространство глобальных имён.

wiki

class A{
public:
  static int i;
}

/* Обязательно нужно проинициализировать */
int A::i = 0;

int main(){
  A::i = 1;
}

53. Сколько операндов имеет операция индексирования []? Какой вид результата должна возвращать эта операция?

a. Ровно один операнд (параметр).
б. С точки зрения компилятора ничего она не должна и может возвращать что угодно. Или вообще не возвращать. Однако, я бы обиделся на std::vector, если бы не смог присваивать значения таким образом:

std::vector a(10);
a[3] = 42;

Поэтому, крайне желательно возвращать некоторое lvalue по ссылке, например:

double& operator[](int i){return _lvalue_;}