30. Перечислите особенности перегрузки операций как методов класса. Чем отличается перегрузка внешним образом от перегрузки как метода класса?

• Первый параметр оператора опускается, им становится экземпляр класса (this).
• Его можно сделать константным методом.
• У него имеется доступ к не-public членам.
• Оператор можно сделать виртуальным.

Этим и отличается.

29. Можно ли определить новую операцию?

Нельзя. Технически это было бы несложно, но создало бы больше проблем, чем решило. Допустим, мы решили добавить операцию **, означающую в некоторых языках возведение в степень. Посмотрим, какие возникают трудности.

• Неоднозначность. Как интерпретировать a**b? (a)**(b) или a*(*b). Заметьте, оба варианта синтаксически корректны, но имеют разный смысл. Придется создавать правила для разрешения этой ситуации.
• Ассоциативность. Чему эквивалентно a**b**c? (a**b)**c или a**(b**c)?
• Приоритет. Чему эквивалентно a+b**c? (a+b)**c или a+(b**c)?

Напоминаю, с точки зрения разработчика языка, проблемы не являются неразрешимыми. В некоторых языках есть такая возможность.

28. Можно ли при перегрузке изменить приоритет операции?

К счастью, нет :) Это создало бы слишком много проблем.

27. Можно ли перегружать операции для встроенных типов данных?

Нет. Вообще, хотя бы одно из значений оператора должно являться пользовательским типом.

26. Какие операции нельзя перегружать? Как вы думаете, почему?

По-моему, чаще используется слово "оператор", я так и буду их называть.
Перегружать можно следующие операторы:
+ - * / % ^ & | ~ ! = < >
+= -= *= /= %= ^= &= |=
<< >> >>= <<= == != <= >=
&& || ++ -- ->* , -> [] ()
new new[] delete delete[]

А нельзя (подсмотрел у Страуструпа):

• :: (разрешение области видимости)
• .  (выбор члена)
• .* (выбор члена через указатель на член)
• ?: тернарный оператор
• sizeof, typeid

У первых трех в правой части имя, а не значение. У тернарного оператора аж 3 параметра, к тому же его возвращаемое значение является l-value. Переопределять sizeof, typeid, думаю, просто нет смысла.
Также нельзя определить новые лексемы.